Üçgen Nedir ve Üçgenin Özellikleri

Üçgen Nedir ve Üçgenin Özellikleri
Üçgen Nedir?
A, B, C doğrusal olmayan herhangi üç nokta olmak üzere [AB], [BC], [AC] doğru parçalarının ikişer ikişer birleştirilmesi ile oluşan geometrik şekle üçgen denir.



[AB] U [BC] U [AC] = ABC üçgeni
[AB], [BC], [AC] üçgenin kenarlarıdır.
m(EÂC), m(DBF) ve m(BĈA) üçgenin iç açıları
m(DÂC), m(EBF) ve m(AĈF) üçgenin dış açılarıdır.
|AB| = c (AB kenarının uzunluğu c birim)
|BC| = a (BC kenarının uzunluğu a birim)
|AC| = b (AC kenarının uzunluğu b birim)

Üçgenin; üçü kenar, üçü açı olmak üzere altı temel elemanı vardır.

Üçgenin Çeşitleri
A. Açılarına Göre Üçgen Çeşitleri
A.1. Dar Açılı Üçgen
Üç iç açısının da ölçüsü 90° ’ den küçük olan üçgene dar açılı üçgen denir.
a < 90°
b < 90°
c < 90° ise ABC üçgeni, dar açılı bir üçgendir.



A.2. Dik Üçgen (Dik Açılı Üçgen)
Bir iç açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° ’ lik açının karşısındaki kenar hipotenüstür. Diğer kenarlar ise dik kenarlardır.



Dik Üçgenin Özellikleri
√ Â = ° 90 ise Â= B + Ĉ

√ Dik Üçgende Pisagor Bağıntısı: Hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir:

a2 = b2 + c2



√ Dik Üçgende Öklid Bağıntıları: Öklid bağıntısının uygulanması için hipotenüse dik inilmiş olması gerekir.

Dik kenar bağıntısı : b2 = k x a
Dik kenar bağıntısı : c2 = p x a
Yükseklik bağıntısı : h2 = p x k
Alan bağıntısı : a x h = b x c

A.3. Geniş Açılı Üçgen
Bir iç açısı 90° ’ den büyük olan üçgene geniş açılı üçgen denir. α > 90° ise ABC üçgeni geniş açılı bir üçgendir.

B. Kenarlarına Göre Üçgen Çeşitleri
B.1. Çeşitkenar Üçgen
Üç kenarı ve üç iç açısı farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen denir:



ABC üçgeninde ; a ≠ b ≠ c ve α ≠ β ≠ θ olduğu için ABC üçgeni çeşitkenar üçgendir.

B.2. İkizkenar Üçgen
İki kenarın uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.



|AB| = |AC| ise ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar üçgenin taban açıları dar açıdır.

α < 90° ’ dir.

İkizkenar Üçgenin Özellikleri


1. b = c
2. Bˆ = Cˆ
3. ha , va , na çakışıktır ( h:Yükseklik, v: kenarortay, n: açıortay)
4. hb = hc vb = vc nB = nC

B.3. Eşkenar Üçgen
Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 60° olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.



|AB| = |BC| = |AC| veya α = 60° ise, ABC üçgeni eşkenar üçgendir.

Eşkenar Üçgenin Özellikleri


1. a = b = c
2. Â = Bˆ = Cˆ = 60° ’dir.
3. Her kenara ait yükseklik, kenarortay ve açıortay çakışıktır.
4. Yükseklik, kenarortay ve açıortaylar birbirine eşittir.

Üçgen Bağıntıları
Herhangi bir üçgende üçü açı ve üçü kenar olmak üzere altı temel eleman vardır. Ayrıca yükseklik, açıortay, kenarortay gibi yardımcı elemanlar vardır. Bu temel ve yardımcı elemanların birbirleriyle olan ilişkilerine üçgen bağıntıları denir. Üçgen hesapları bu bağıntılar dikkate alınarak yapılır.



Üçgen Bağıntı Çeşitleri
Üçgen bağıntılarını üç grupta inceleyebiliriz. Bunlar: açı bağıntıları, kenar bağıntıları ve açı-kenar (trigonometrik) bağıntılar. Üçgen hesapları bu bağıntılardan biri veya hepsi kullanılarak yapılır.

A. Açı Bağıntıları
Herhangi bir üçgende

1. İç açılar toplamı 180° ’ dir. (a+b+c = 180°)

2. Dış açılar toplamı 360° dir. (α + β + θ = 360°)

3. Bir iç açı ile bir dış açının toplamı 1800’ dir. (a + α = 180°)

4. Bir dış açı, kendine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. (α= b + c β= a+c θ= a+b)



5. Bir üçgende üç iç açıortay bir noktada kesişir (D noktası). Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.



6. İki iç açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısının 90° ile toplamına eşittir.

α = 90° + (a/2)

7. Bir üçgende iki dış açıortay bir noktada kesişir (D noktası). Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.



8. Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesiştiği nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.

9. İki dış açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısının 90° ile farkına eşittir.

w = 90° - ( a / 2 )



10. Bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısına eşittir.

q = a / 2

B. Kenar Bağıntıları
Herhangi bir üçgende;

1. Bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyüktür: a < b+c b < a+c a > b-c



2. Üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Orta taban, üçüncü kenara paralel ve bu kenarın yarısına eşittir.

|DE| // |BC| ise |DE| = BC / 2



3. Üçgende yükseklikler bir noktada kesişir (H noktası). Bu noktaya diklik merkezi (Ortasantr) denir.



4. Kenar orta dikmeler bir noktada kesişir( O noktası). Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.



5. Kenarortaylar bir noktada kesişir (G noktası). Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.
|GA|= 2 / 3 |AA’|

|GA’| = 1 / 3 |AA’|

C. Açı – Kenar (Trigonometrik) Bağıntılar
1. Bir üçgende büyük açı karşısında uzun kenar, küçük açı karşısında kısa kenar bulunur.

2. Bir üçgende kenar uzunlukları ile açıortay, kenarortay ve yükseklik uzunlukları ters orantılıdır.



3. ABC üçgenine göre;
Sin α = b / c

Cos α = a / c

tg α = b / a

4. Herhangi bir üçgenin alanı aşağıdaki formüllerden birisi ile hesaplanır.

S : Üçgenin alanı
R : Çevrel çember yarıçapı
r : İç teğet çember yarıçapı
ra , rb , rc : Dış teğet çember yarıçapı
u : Yarım çevre ( 2u = a+b+c ) veya u = (a+b+c)/2
ha , hb , hc : Yükseklik

S = ( 1 / 2 ) a . ha = ( 1 / 2 ) b . hb = ( 1 / 2 ) c . hc

S = √ u (u - a) (u - b) (u - c)

S = u . r

S = ( u – a ) ra = ( u – b ) rb = ( u – c ) rc

S = abc / 4R

S = ( 1 / 2 ) b . c . SinA = ( 1 / 2 ) a . c . SinB = ( 1 / 2 ) a . b . SinC [1]