Kaos Teorisi / Kaos Kuramı

Kaos Teorisi / Kaos Kuramı
“Bir mıh bir nal kurtarır; bir nal bir at kurtarır; bir at bir er kurtarır; bir er cenk kurtarır; bir cenk bir vatan kurtarır!”

Gerçek hayatta olduğu gibi bilimde de, birtakım zincirleme olaylarda küçük değişiklikleri büyük sorunlar haline getiren bir kriz noktası bulunduğu bilinir. Kaos, bu noktaların her yerde olduğu anlamına gelir.İşte bu nokta kaosun günlük dilde kullanılan kargaşa anlamından farklı olarak öncelikle fizikteki kullanımına tekabül eder.

Her ne kadar bilim dünyasındaki ününü Edward Lorenz ile birlikte, 20. yüzyılın ikinci yarısından itibaren kazanmaya başlansa da kavramın çıkışı çok daha eskiye dayanır. Yunan ve Çin mitolojilerinin yaradılış efsanelerinde rastlanmakla birlikte eski Yunan filozofları tarafından da dünyanın oluşum aşamasını anlamlandırmak için felsefede kullanılmaya başlanmıştır. Ancak bilim tarihine girişi 18. yüzyılda olmuştur. Önceleri Poincare, Weierstraas Cantor, Peano gibi matematikçilerin ilgisini çeken kaos daha sonraları daha çok fizikçi-lerin ilgi gösterdikleri bir konu olmuştur. İşte 18. ve 19.yüzyıllarda kavrama pek çok farklı bilim insanı tarafından getirilen anlayışlar “kaos teorisi”nin çıkışına kaynaklık etmiştir.[1]

Kaos kuramı, kaos teorisi veya kargaşa kuramı; yapısal olarak bir fizik teorisi ya da matematiksel bir tümevarım değil, fiziksel gerçeklik parçalarının bir bütün olarak eğilimini açıklamaya yarayan bir yöntemdir.

Bir sigara dumanının havada yaptığı şekiller tamamen düzensiz ve bağımsız rastlantıların ürünü olarak görülebilir. Ancak bir teorik fizikçi dumanın bu dinamiğinin aslında ortamdaki birçok parametre ve etken ile belirlendiği görüşündedir. Bu girdiler o kadar çoktur ve o kadar değişkendir ki incelemek ve net bir kanıya varmak imkânsızdır. Parametrelerin bu denli değişken olması aslında o parametrelerin de bir çıktı olmasından kaynaklanır. Dumanın hareketine neden olan hafif bir hava akımı aslında odanın başka yerindeki bir sıcaklık değişikliği ve basınç farkının neden olduğu bir harekettir. Ayrıca dumanın dinamiğini etkileyen girdiler birbirlerine bağlı olabilirler ki bu durumu tam anlamıyla içinden çıkılmaz hâle sokar. Sigara dumanı örneğine geri dönersek, hava akımının yalnızca sıcaklık değişiminden kaynaklandığını farz edelim (ki pratikte bu milyonlarca etkenden biridir). Sıcaklık değişimi ortamda basınç farkı yarattığından hava akımını etkiler. Ancak oluşan hava akımı sıcaklıkta tekrar değişimlere neden olacağından farklı girdilerle tekrar bir fonksiyon oluşturur ve bu değişim sonsuza kadar devam eder. Birçok farklı girdinin sürekli değişerek fiziksel değişimler ve farklı düzenler yaratması ve bu düzenlerin yine kendisini etkilemesi insan zekasının ve günümüzdeki gözlem ve bilimsel tahmin yeteneklerinin çok çok üstünde olmasından dolayı kaos olarak nitelendirilir. Oysa tüm bu değişimlere neden olan fiziksel yasalara ve matematiksel açıklamalara hakimiz. İşte bu noktada karşımıza düzen ve anarşinin aslında birbirine ne kadar sıkı sıkıya sarılmış olduğu ortaya çıkar. Fiziksel yasalar ne kadar basit olursa olsun sonuç o kadar rastlantısal ve karmaşa doludur.[2]

Kaos bazen günlük hayatta buzdağının görünen kısmı gibi bize sadece burnunun ucunu gösterir. Örneğin musluktan akan su bazen düzenli damlasa da bazen düzensiz biçimde damlar. kalbimiz çoğu zaman düzenli atsa da bazen çarpıntı yapar. Sigara dumanı belli bir yere kadar düzdün yükseliyor gibi gözükse de bir anda kırılmaya ve çalkalanmaya başlar. Borsada, önemli iç ve dış siyası olaylar olmadığı zamanlar bile düzensiz gibi gözüken sürekli bir dalgalanma vardır.

Kaos teoremi, böyle günlük yaşamda tanımlanabilen kaotik olayların arkasında yatan dinamikler olduğunu ve bunların Lineer olmayan (nonlineer) denklem sistemleri ile beli bir yere kadar tahmin edilebileceğini savunan matematiğin teoremidir (Belli bir yere kadar diyorum çünkü Kelebek etkisi yüzünden sürekli hesaplamaların imkansızlığı ortaya çıkıyor). Bu non-lineer denklem sistemleri grafiğe döküldüğü zaman "atraktör" adı verilen şekiller ortaya çıkmaktadır. [3]

Sayısal bilgisayarların ve onların çıktılarını çok kolay görülebilir hâle getiren ekranların ortaya çıkmasıyla gelişti ve son on yıl içinde popülerlik kazandı. Ancak kaotik davranış gösteren sistemlerde kestirim yapmanın imkânsızlığı bu popüler görüntüyle birleşince, bilim adamları konuya oldukça kuşkucu bir gözle bakmaya başladılar. Fakat son yıllarda kaos teorisinin ve onun bir uzantısı olan fraktal geometrinin, borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba, kimyadan mekaniğe kadar uzanan çok farklı dallarda önemli kullanım alanları bulması ile bu kuşkular giderek yok olmaktadır.[2]

Kaos Teorisi'nin Gelişimi
Teoriye temel oluşturan matematiksel ve temel bilimsel bulgular, 18.yüzyıla, hatta bazı gözlemler antik çağlara kadar geri gitmektedir. Yunan ve Çin mitolojilerinde yaradılış efsanelerinde başlangıçta bir kaosun olması rastlantı değildir. Özellikle Çin mitolojisindeki kaosun, bugün bilimsel dilde tanımladığımız olgularla hayret verici bir benzerliği olduğunu görülür. Batı'da da daha sonraki dönemlerde bilim adamları tarafından karmaşık olgulara dair gözlemler yapılmıştır. Poincare, Weierstrass, von Koch, Cantor, Peano, Hausdorff, Besikoviç gibi çok üst düzey matematikçiler tarafından bu teorinin temel kavramları bulunmuştur.[2]

1961 yılının kış aylarından bir gün, Lorenz bu ardışık dizilerden birini uzun uzadıya incelemek istediği bir sırada kestirme bir yol izlemeye kalkıştı. Programı tekrar başa dönüp çalıştırmak yerine ortalardan bir yerden başladı. Makineye başlangıç durumundaki şartları vermek için, daha önce yazıcıdan çıkardığı dizelere bakıp oradaki sayıları klavyeden aynen girdi. Sonra da hem makinenin gürültüsünden kaçmak hem de bir fincan kahve içmek üzere koridorun sonundaki hole gitti. 1 saat kadar sonra döndüğünde hiç ummadığı bir şeyle karşılaştı; hem de öyle bir şey ki bununla artık yepyeni bir bilim dalı filizlenmeye başlıyordu.

Bilgisayarın yaptığı bu dökümde bir önceki dökümün tıpatıp tekrarlanması gerekirdi. Lorenz aynı sayıları makineye kendi eliyle girmişti. Programda bir değişiklik yoktu oysa Lorenz yazıcıdan yeni çıkan döküme baktığında gördüğü şey şuydu: Hava durumu bir önceki dökümde yer alan şeklinden o kadar hızla uzaklaşmaktaydı ki bir kaç aylık bir süre zarfında aradaki bütün benzerlik ortadan kalkmıştı. Lorenz, bir bu sayı kümesine baktı bir de önceki sayı kümesine. Sanki bir şapkanın içinden rasgele 2 hava durumu seçip almış gibiydi. İlk aklına gelen şey gene vakumlu tüplerden birinin bozulduğu oldu.

Birden gerçeğin farkına vardı. Makine bozulmuş falan değildi. Mesele makineye işlediği sayılardan kaynaklanıyordu. Bilgisayarın hafızasına kaydedilen ondalık kesir sayıları 6 haneydi: 506127. Yazıcıdan çıkan dökümde ise yerden kazanmak için sadece 3 hane görünüyordu: 506. Lorenz binde birlik bir farkın sonucu etkilemeyeceğini düşünerek sayıyı yuvarlamıştı. Önce grafiksel seyirlerindeki fark çok az olan bu iki olay birbirinin aynısı gibi devam ederken belli bir noktadan sonra yavaş yavaş farklı noktalara yönelmeye başlıyor ve bir süre sonra aralarında hiçbir benzerlik kalmıyor. Böylece kelebek etkisi kavramı ortaya çıkmıştır.

Lorenz konuyu tamamen gelişigüzelliğe yönelen bir öngörülebilirlik imajı olarak sadece Kelebek Etkisine getirip o halde bıraksa sadece felaket tellallığı yapmış olurdu. Oysa meteoroloji modelinde bu gelişigüzelliğin ötesinde bir şeyler daha bulunduğunu fark etti. İnce bir geometrik yapı çerçevesinde, gelişigüzellik kılığına bürünmüş bir düzenin mevcut olduğunu gördü.[4]

Kaos Teorisi ve Kelebek Etkisi
Bir kelebek Çin'de kanat çırpsa, California'da kasırgaya sebep olabilir. Meteorolog Ed Lorenz tarafından, meteoroloji bilgisayarına verilerin küsuratlarının yanlış girilmesi sonucu bambaşka sonuçların ortaya çıkması yüzünden keşfediliyor. Hesaplanamayan her veri, her küsurat bir sonraki adımda katlanarak üst üste binecektir bu ise çok kısa süre sonra sistemi tahmin edilemez kılacaktır. Buna kaos dilinde "başlangıç koşullarına hassas bağlılık" deniyor.

Kelebek etkisi, determinizmini kökünden yıkmıştır, determinizmin [a] adeta sonu olmuştur.

Determinizm sayesinde Ay'a gidilmiştir, Uydular yörüngelerine oturtulmaktadır. Ama uzun vadede determinizme bel bağlamamak gerekir. Kelebek etkisi yüzünden gelecek hiçbir zaman hesaplanamaz. Teorik olarak evrendeki her parametreyi hesaplayacak ve geleceği tahmin edecek bir bilgisayar yapılsa, her zaman için kesinlikle ihmal edilecek veriler olacaktır, bırakın ihmal edilecek verileri, bu bilgisayarın kendi kullandığı enerji ve bu hesaplamaları yaparken ortaya çıkacak enerji değişimleri bile geleceği tahmin etmeyi imkansız kılıyor.

"O golü de atmış olsaydık, kaçırmasaydık şimdiye iki sıfır galiptik..."

Futboldan hiç anlamam; ama böyle bir şeyin kelebek etkisi yüzünden mümkün olamayacağını söyleyebilirim. Zira o ilk gol atılsa idi, o andan itibaren bütün olayların gidişatı değişeceği için belki de mağlup bile olunabilirdi.

Hatırlayacaksınız, birinci maddedeki kaos teoremi deterministik bir yaklaşımdır.Nasıl oluyor diyeceksiniz hem kendisi deterministik oluyor aynı zamanda determinizmi çürütüyor. İşte olayın özünde yatan düşüncelerden birisi de budur. Kaosçular, bunu bir çelişki olarak görmüyorlar. [3]

Uygulama
Tümevarım
Karmaşık sistem teorisinin ardında yatan yaklaşımı felsefe, özellikle de bilim felsefesi açısından incelenecek olunursa, ortaya ilginç bir olgu çıkar. Aslında bugün pozitif bilim olarak nitelendirilen şey, batı uygarlığının ve düşünüş biçiminin bir ürünüdür. Bu yaklaşımın en belirgin özelliği, analitik oluşu yani parçadan tüme yönelmesidir (tümevarım).

Genelde karmaşık problemleri çözmede kullanılan ve bazen çok iyi sonuçlar veren bu yöntem gereğince, önce problem parçalanır ve ortaya çıkan daha basit alt problemler incelenir. Sonra, bu alt problemlerin çözümleri birleştirilerek, tüm problemin çözümü oluşturulur. Ancak bu yaklaşım görmezden gelerek ihmal ettiği parçalar arasındaki ilişkilerdir. Böyle bir sistem parçalandığında, bu ilişkiler yok olur ve parçaların tek tek çözümlerinin toplamı, asıl sistemin davranışını vermekten çok uzak olabilir.[2]

Tümdengelim
Tümevarım yaklaşımının tam tersi ise tümdengelim, yani bütüne bakarak daha alt olgular hakkında çıkarsamalar yapmaktır. Genel anlamda tümevarımı Batı düşüncesinin, tümdengelimi Doğu düşüncesinin ürünü olarak nitelendirmek mümkündür. Kaos ya da karmaşıklık teorisi ise, bu anlamda bir Doğu-Batı sentezi olarak görülebilir. Çok yakın zamana kadar pozitif bilimlerin ilgilendiği alanlar doğrusallığın geçerli olduğu, daha doğrusu çok büyük hatalara yol açmadan varsayılabildiği alanlardır.

Doğrusal bir sistemin girdisini x, çıktısını da y kabul edersek, x ile y arasında doğrusal sistemlere özgü şu ilişkiler olacaktır:

Bu özellikleri sağlayan sistemlere verilen karmaşık bir girdiyi parçalara ayırıp her birine karşılık gelen çıktıyı bulabilir, sonra bu çıktıların hepsini toplayarak karmaşık girdinin yanıtını elde edebiliriz. Ayrıca, doğrusal bir sistemin girdisini ölçerken yapacağımız ufak bir hata, çıktının hesabında da başlangıçtaki ölçüm hatasına orantılı bir hata verecektir. Hâlbuki doğrusal olmayan bir sistemde Y'yi kestirmeye çalıştığımızda ortaya çıkacak hata, X'in ölçümündeki ufak hata ile orantılı olmayacak, çok daha ciddi sapma ve yanılmalara yol açacaktır. İşte bu özelliklerinden dolayı doğrusal olmayan sistemler kaotik davranma potansiyelini içlerinde taşırlar.

Kaos görüşünün getirdiği en önemli değişikliklerden biri ise, kestirilemez determinizmdir. Sistemin yapısını ne kadar iyi modellersek modelleyelim, bir hata bile (Heisenberg belirsizlik kuralı'na göre çok ufak da olsa, mutlaka bir hata olacaktır), yapacağımız kestirmede tamamen yanlış sonuçlara yol açacaktır. Buna başlangıç koşullarına duyarlılık adı verilir ve bu özellikten dolayı sistem tamamen nedensel olarak çalıştığı halde uzun vadeli doğru bir kestirim mümkün olmaz. Bugünkü değerleri ne kadar iyi ölçersek ölçelim, 30 gün sonra saat 12'de hava sıcaklığının ne olacağını kestiremeyiz. Bu görüş paralelinde ortaya konan en ünlü örnek ise Kelebek Etkisi denen modellemedir. Bu modelleme, en basit hâliyle şu iddiayı taşır: "Çin de kanat çırpan bir kelebek ABD de bir fırtınaya neden olabilir". Kelebek etkisine verilebilecek bir diğer örnekte 1861-1865 yılları arasında süren Amerikan İç Savaşı'dır. Amerikanın güney eyaletleri dış işlerde birbirine bağımlı ama iç işlerinde bağımsız olmak yani konfederasyon isterken, kuzey eyaletleri birbirine çok daha katı bir şekilde bağlı olmak isterler, yani federasyon isterler. Ayrıca kuzeyde modern kapitalizmin kuralları gereğince, emek gücüne harcadığı emek karşılığı ücret yani yevmiye ya da maaş ödenirken, güneyde ise köle iş gücü vardır. Kuzey eyaletleri Amerikanın güney eyaletlerindeki köle iş gücünün tasfiye olmasını isterler, çünkü böylece kuzeye gelecek olan fazla iş gücü yüzünden işçilik ücretleri düşecektir. Bundan dolayı Amerikanın kuzey ve güney eyaletleri arasında 1861 yılında savaş çıkar ve kuzey eyaletleri Amerikanın güney eyaletlerinin limanlarını ablukaya alırlar. Amerikanın güney eyaletleri ise İngiltere ve Rusya'ya pamuk satamaz ve 19. yüzyılın en önemli sanayilerinden birisi tekstildir. Bunun üzerine Rusya ve İngiltere pamuk yetiştirebileceği alanlar araştırmaya başlar. 1860lardan 1880lere kadar Rusya tüm Orta Asya'yı işgal eder, çünkü burası pamuk üretimi için çok elverişlidir. İngiltere ise Hindistan'ın Doğu kısmını işgal eder yine pamuk üretimi için. Görüldüğü gibi, Amerika'da çıkan bir iç savaş neticesinde Orta Asya'yı Rusya işgal ederken Doğu Hindistan'ı da İngiltere işgal etmiştir. İşte "Kelebek Etkisi" ya da "Kaos Teorisi" buna denir.[2]

Kaos Teorisi'nin Temel Önermeleri
Düzen düzensizliği yaratır.
Düzenin anlayamadığımız hali(kaos) varsa ki -illa ki olmalıdır- bundan dolayı düzensiz diyemeyiz. Yani düzenin dışına çıkmak imkânsızdır.
Düzensizliğin içinde de bir düzen vardır.
Düzen düzensizlikten doğar.
Yeni düzende uzlaşma ve bağlılık değişimin ardından çok kısa süreli olarak kendini gösterir.
Ulaşılan yeni düzen, kendiliğinden örgütlenen bir süreç vasıtasıyla kestirilemez bir yöne doğru gelişir.[2]
Kaos Teorisi ve Fraktal Geometri
Fraktal geometriden daha önce bahsedildiği için uzun uzun bu konuya girmeyeceğim. Bahsettiğimiz bu yeni anlayış, yeni bir geometri anlayışını da beraberinde getirmiştir. Doğaya baktığımız saman düz çizgiler, düz sınırlar yoktur, ölçek ne kadar küçültülürde küçültülsün sürekli kendini tekrarlayan bir yapı vardır. Fraktal geometri Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atılmıştır. Kıyıların uzunluğu fraktal geometri tarafından hesaplanır. Galaksi kümeleri de fraktal geometriye örnektir. Ayrıca hiçbir zaman birbirinin aynısı olmayan kar taneleri de tamamen fraktal geometri çerçevesinde oluşur. [3]

Kaos Teorisi ve Astroloji
Popüler kültürde kelebek etkisi olarak bilinen bu kavram astrolojiye bakış açımızı da yeniden şekillendiriyor. Eğer evrende her şeyin diğer şeylerle sürekli bir etkileşim içinde olduğunu söylersek hata yapmış sayılmayız. Şimdiye kadar evrene bakışımızda neden ve sonuç ilişkisinin ne kadar köklü biçimde yer aldığını biliyoruz.
Eski Grek filozofu Aristo tarafından şekillendirilen, Platon'la ruhumuza işleyen bu ilke, Isaac Newton sayesinde matematiksel düzeyde formüle edilmişti. Bu mekanik evren modelinde doğrusal mantıksal açıklamalar sistemine zincirlenmiş durumdaydık. Ancak Lorenz'in ortaya koyduğu yeni yaklaşımda aslında hayatın ve fiziksel fenomenlerin içinde kaosun yani düzensizliğin de bir düzeni olduğunu görebiliyoruz.

Halen doktora çalışmalarına devam eden astrolog Bernadette Brady, "Astrology, a place in chaos" adlı kitabında astroloji ile kaos teorisi arasındaki paralellikleri ve her iki sistemin birbiri ile ne kadar çok ortak bağı olduğunu irdeliyor. Kaos teorisine göre herhangi bir sistem, örneğin bu fiziksel olarak bedenimiz ya da bilgisayarınızın ekran koruyucunda rastgele olarak belirdiğini gördüğümüz şekiller de olabilir, kendi içinde bir kalıba ve bu kalıbı ortaya koyan "garip çekicilere" (strange attractors) sahiptir. Başka bir deyişle, her düzende o düzeni kendi içinde organize ve düzenli kılan iç yapılar vardır. Örneğin trafikte sürekli tıkanan caddeler ve yanan kırmızı, yeşil ışıklar, diyelim ki köprü trafiğinde belirli noktaların belirli zamanlarda sıkışmalarına ya da açılmalarına yol açar. Aynı şey bedenimiz içinde böyledir.

Kaostan Çıkan Düzen
Peki neden şöyle bakmayalım? Astrolojik haritamız hayatımızı belirli yönlere, eğilimlere ve açılımlara yönelten bir dizge olarak görülemez mi? Kaos teorisinde sistemi değişime uğratan belirli destek noktaları ve başlangıç noktası özellikleri vardır. Örneğin bilgisayarınızdaki ekran koruyucunun vereceği şekilleri önceden siz belirleyebilirsiniz. Bunların sayısını ve değişim hızlarını henüz görüntü rastgele şekillenmeden en başta belirleriz.

Astrolojik haritamız da aslında kendi hayatımızın rastgele gibi devinmesinde bir ilk koşul ve düzen olarak görülebilir. Hayatımızın da birbirine benzeyen şekilleri, farklı destek noktaları, yeni şekillerin ve yeni yönelimlerin ortaya çıktığı durumlar vardır. Tıpkı önemli bir Pluton ya da Satürn transitinin devreye girerek farklı koşullar yaratması gibi.

Aslında bu transitlere ve ilerletimlere değişik tetikleyiciler gözüyle bakabiliriz. Tıpkı bir kar tanesinin yıldızları gibi, fraktallar yani birbirine eş parçalar, yeni şekiller üretir ve bu benzer parçacıklar kendilerini yeniden yeniden üretmeye, sonsuza kadar gidebilecek şekiller yaratmaya başlar.

Astrolojik haritamız bu tür düzenler ve garip çekiciler adı verilen yapılara sahiptir. Kimi kişinin haritasında büyük üçgenler ya da büyük kareler adı verilen açı kalıpları, her haritanın içinde farklı gruplar, gezegen yığılımları ve boş alanlar da vardır. Düzensizlik ve kaos gibi gözüken yapıların içinden kendilerine özgü bir düzen çıkacaktır. Tıpkı eski mitlerin ortaya koyduğu gibi önce kaos vardır, düzen de kaosun içinde çıkar. Astroloji bize kaotik gibi görülen hayatımızın düzenini sembolik düzeyde ifade etmektedir.[5]

Edward Norton Lorenz Kimdir?
Edward Norton Lorenz (23 Mayıs 1917 - 22 Nisan 2008) ABD doğumlu matematikçi ve meteorolog. Kaos teorisi ve kelebek etkisi ile bilinir. Kanser tedavisi gören Lorenz, Cambridge'deki evinde ölmüştür.

Biyografi
Lorenz, 23 Mayıs 1917'de West Hartford, Connecticut'ta dünyaya geldi. Dartmouth kolejinde, Yeni Hampshire'da, Harvard Üniversitesi ve Massachusetts aralarında matematik dersleri aldı. İkinci Dünya Savaşı sırasında Lorenz, ABD hava pilotları için hava çalışanı olarak görev aldı. Savaştan döndükten sonra, meteoroloji üzerine ders almaya devam etti. Lorenz, 1963 yılında MIT'te meteorolog olarak çalışırken, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufacık değişikliklerin bile, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabileceğini öngörmüş ve bunu örneklendirmek için 1972'de sunduğu bir çalışmada, bir kelebeğin Amazon ormanlarında kanat çırpmasının Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabileceği ifadesini kullanmıştı.
Lorenz, sadece üç değişkenle kaos ortamı doğabileceğini keşfetmiş ve daha 19. yüzyılda Fransız matematikçisi Henri Poincaré'nin fikir olarak ortaya attığı çok basit bir sistemde çok karmaşık bir dinamiğin ortaya çıkabileceğini kanıtlamıştı. Lorenz'in teorisi ve buluşları, sadece matematik alanında değil, biyoloji, fizik ve sosyal bilimler alanında da yeni bir araştırma alanının doğmasına vesile olmuştu.

Aldığı Ödüller
1969 Carl Gustaf Rossby Araştırma madalyası, Amerikan Meteoroli Sosyetesi
1973 Symons Memorial Altın madalyası, Royal Meteorological Society
1975 Arkadaş, National Academy of Sciences (U.S.A.)
1981 Üye, Norwegian Academy of Science and Letters.
1983 Crafoord Prize, Royal Swedish Academy of Sciences
1991 Kyoto Prize
2004 12 Mayıs Buys Ballot madalyası [6]
Chaos Theory (English)
In mathematics, chaos theory describes the behavior of certain dynamical systems – that is, systems whose states evolve with time – that may exhibit dynamics that are highly sensitive to initial conditions (popularly referred to as the butterfly effect). As a result of this sensitivity, which manifests itself as an exponential growth of perturbations in the initial conditions, the behavior of chaotic systems appears to be random. This happens even though these systems are deterministic, meaning that their future dynamics are fully defined by their initial conditions with no random elements involved. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos.

Chaotic behavior is also observed in natural systems, such as the weather. This may be explained by a chaos-theoretical analysis of a mathematical model of such a system, embodying the laws of physics that are relevant for the natural system.

Overview
Chaotic behavior has been observed in the laboratory in a variety of systems including electrical circuits, lasers, oscillating chemical reactions, fluid dynamics, and mechanical and magneto-mechanical devices. Observations of chaotic behavior in nature include the dynamics of satellites in the solar system, the time evolution of the magnetic field of celestial bodies, population growth in ecology, the dynamics of the action potentials in neurons, and molecular vibrations. Everyday examples of chaotic systems include weather and climate. There is some controversy over the existence of chaotic dynamics in plate tectonics and in economics.

Systems that exhibit mathematical chaos are deterministic and thus orderly in some sense; this technical use of the word chaos is at odds with common parlance, which suggests complete disorder. However, even though they are deterministic, chaotic systems show a strong kind of unpredictability not shown by other deterministic systems.

A related field of physics called quantum chaos theory studies systems that follow the laws of quantum mechanics. Recently, another field, called relativistic chaos, has emerged to describe systems that follow the laws of general relativity.

This article tries to describe limits on the degree of disorder that computers can model with simple rules that have complex results. For example, the Lorenz system pictured is chaotic, but has a clearly defined structure. Bounded chaos is a useful term for describing models of disorder.

Attractors
Some dynamical systems are chaotic everywhere (see e.g. Anosov diffeomorphisms) but in many cases chaotic behaviour is found only in a subset of phase space. The cases of most interest arise when the chaotic behaviour takes place on an attractor, since then a large set of initial conditions will lead to orbits that converge to this chaotic region.

An easy way to visualize a chaotic attractor is to start with a point in the basin of attraction of the attractor, and then simply plot its subsequent orbit. Because of the topological transitivity condition, this is likely to produce a picture of the entire final attractor.
Phase diagram for a damped driven pendulum, with double period motion

For instance, in a system describing a pendulum, the phase space might be two-dimensional, consisting of information about position and velocity. One might plot the position of a pendulum against its velocity. A pendulum at rest will be plotted as a point, and one in periodic motion will be plotted as a simple closed curve. When such a plot forms a closed curve, the curve is called an orbit. Our pendulum has an infinite number of such orbits, forming a pencil of nested ellipses about the origin.

Minimum complexity of a chaotic system
Simple systems can also produce chaos without relying on differential equations. An example is the logistic map, which is a difference equation (recurrence relation) that describes population growth over time. Another example is the Ricker model of population dynamics.

Even the evolution of simple discrete systems, such as cellular automata, can heavily depend on initial conditions. Stephen Wolfram has investigated a cellular automaton with this property, termed by him rule 30.

A minimal model for conservative (reversible) chaotic behavior is provided by Arnold's cat map.

Mathematical theory
Sharkovskii's theorem is the basis of the Li and Yorke (1975) proof that any one-dimensional system which exhibits a regular cycle of period three will also display regular cycles of every other length as well as completely chaotic orbits.

Mathematicians have devised many additional ways to make quantitative statements about chaotic systems. These include: fractal dimension of the attractor, Lyapunov exponents, recurrence plots, Poincaré maps, bifurcation diagrams, and transfer operator.[7]

Dipnotlar
[a] Determinizm: Her hareketin hesaplanabilen ve önceden tahmin edilebilen bir sonuç doğuracağı inanışına determinizm deniyor. Bu felsefi düşünce binlerce yıl önce eski yunanda ortaya çıktı ve 16. yüzyıldan beri de bilimin bir parçası oldu. Sir Isaac Newton, modern bilimde determinizmin savunucularına en belirgin örnektir. Newton un öğretilerinin özünde determinizm yatar çünkü meydana gelen her olay, tümüyle olayın öncesinde ne olduğuna bağlı olmayı gerektirir. mesela bir örnek verecek olursak bir cisim belli bir yükseklikten yere atıldığı zaman yere ne zaman düşeceğini hesaplamak deterministik bir yaklaşımdır.